Question

若矩陣A有特征向量i=（

10

）和j=（

01

），且它們所對應的特征值分別為λ₁=2，λ₂=-1．
（1）求矩陣A及其逆矩陣A^-1；
（2）求逆矩陣A^-1的特征值及特征向量；
（3）對任意向量α=（

xy

），求（（A^-1）²⁰α．

Answer 1

（1）設矩陣M=

a b c d

，這里a，b，c，d∈R，
則

a b c d

1   0

=2

1   0

，

a b c d

0   1

=-

0   1

，解得a=2，b=0，c=0，d=-1
∴A=

2 0 0 -1

，A^-1=

1 2 0 0 -1

（2）A^-1特征多項式f（λ）=

λ- 1 2 0 0 -1

=（λ-

1

2

）（λ+1）=0，得λ=

1

2

，或λ=-1，
當λ=

1

2

時，對應的特征向量為

1   0

；當λ=-1時，對應的特征向量為

0   1

；
（3）由α=x

1   0

+y

0   1

，
∴（（A^-1）²⁰α=x

λ

201

1   0

+y

λ

202

0   1

=

x 220   y

．