Question

A，B，C是△ABC的三個內角，且C=2B．
（Ⅰ）求證：sinA=3sinB-4sin³B；
（Ⅱ）若△ABC是銳角三角形，求

AB+BC

AC

的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由三角形內角和定理及誘導公式得到sinA=sin（B+C），把C=2B代入并利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，再利用同角三角函數間基本關系整理后，去括號合并即可得證；
（Ⅱ）由三角形ABC為銳角三角形，確定出C與B的范圍，原式利用正弦定理化簡，把C=2B，以及sinA=3sinB-4sin³B代入，整理后利用二次函數的性質及余弦函數的值域求出范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵C=2B，
∴sinA=sin（B+C）=sin（2B+B）
=sin2BcosB+cos2BsinB
=2sinBcos²B+（1-2sin²B）sinB
=2sinB（1-sin²B）+（1-2sin²B）sinB
=2sinB-2sin³B+sinB-2sin³B
=3sinB-4sin³B
則sinA=3sinB-4sin³B；
（Ⅱ）由△ABC為銳角三角形，得到0＜C＜

π

2

，0＜2B＜

π

2

，即

π

6

＜B＜

π

4

，
由正弦定理化簡得：

AB+BC

AC

=

c+a

b

=

sinC+sinA

sinB

=

sin2B+3sinB-4sin3B

sinB

=2cosB-4sin²B+3=2cosB-4（1-cos²B）+3=4（cosB+

1

4

）²-

5

4

，
當B=

π

4

，即cosB=

2

2

時，有最小值為1+

2

；當B=

π

6

，即cosB=

3

2

時，有最大值

3

+2，
則

AB+BC

AC

的范圍為（1+

2

，

3

+2）．

點評：此題考查了正弦定理，誘導公式，同角三角函數間的基本關系，以及二次函數的性質，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．