Question

（選做2）已知當a≠b及n∈N*時有公式：aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ=

bn+1-an+1

b-a

（1）利用上述公式證明：對于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹＜（n+1）（b-a） bⁿ．
（2）證明：對一切n∈N*，有（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析：（1）根據公式只需證明：（n+1）aⁿ＜aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ＜（n+1）bⁿ．利用0＜a＜b，進行放縮即可；
（2）由（1）中（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹令a=（1+

1

n+1

），b=（1+

1

n

），從而有（n+1）[（1+

1

n

）-（1+

1

n+1

）]（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，逐步化簡即可．

解答：解：（1）根據公式只需證明：（n+1）aⁿ＜aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ＜（n+1）bⁿ．
∵0＜a＜b
∴（n+1）aⁿ＜aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ＜（n+1）bⁿ．
故對于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹＜（n+1）（b-a） bⁿ．
證明：（2）由（1）中（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹
令a=（1+

1

n+1

），b=（1+

1

n

）
則（n+1）[（1+

1

n

）-（1+

1

n+1

）]（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，
即（n+1）（

1

n

-

1

n+1

）（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，
即[（1+

1

n

）-1]（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，
即（1+

1

n

）ⁿ-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹-（1+

1

n

）ⁿ⁺¹，
即（1+

1

n

）ⁿ＜（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹，

點評：本題以新定義為素材，考查不等式的證明，考查不等式的運用，有較強的難度．