Question

考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A．（幾何證明選做題） 如圖，圓O的直徑AB=10，弦DE⊥AB于點H，HB=2．則DE=

8

．
B．（坐標系與參數方程選做題）已知直線C₁

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數），C₂

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數），當α=

π

3

時，C₁與C₂的交點坐標為

(1，0)；(

1

2

，-

3

2

)

．
C．（不等式選做題）若不等式|2a-1|≤|x+

1

x

|對一切非零實數a恒成立，則實數a的取值范圍

[-

1

2

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：A：連接OD．根據垂徑定理和勾股定理求解．
B：先寫出C₁的普通方程和C₂的普通方程為x²+y²=1．聯立方程組即可解得C₁與C₂的交點；
C：由題意得不等式|2a-1|≤|x+

1

x

|對一切非零實數x均成立，由于|x+

1

x

|的最小值等于2，可得關于a的不等關系，從而求得答案．

解答：解：A：連接OD，圓的直徑為10，HB=2
那么，OD=5，OH=OB-HB=5-2=3，
直角三角形ODH中，根據勾股定理可得：
DH²+OH²=OD²，即DH²+3²=5²，
解得DH=4，
∴DE=2DH=8．
故答案為：8．

B：當α=

π

3

時，C₁的普通方程為y=

3

(x-1)，C₂的普通方程為x²+y²=1．
聯立方程組

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，
解得C₁與C₂的交點為（1，0）(

1

2

，-

3

2

)．
故答案為：(1，0)；(

1

2

，-

3

2

)．

C：∵不等式|2a-1|≤|x+

1

x

|對于一切非零實數x均成立，
由于|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

≥2，故|x+

1

x

|的最小值等于2，
∴|2a-1|≤2，
∴-

1

2

≤a≤

3

2

，
故答案為：[-

1

2

，

3

2

]．

點評：本題主要考查與圓有關的比例線段，以及圓的參數方程和直線的參數方程，以及絕對值不等式等基礎知識，是一道綜合題，屬于中檔題．（C）小題考查查絕對值不等式，基本不等式的應用以及函數的恒成立問題，求出|x+

1

x

|的最小值是解題的關鍵．