Question

已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).
① 若直線垂直于軸，求的大小;
② 若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）（ⅰ）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為.
（ⅱ）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，不存在直線使得為等腰三角形.

試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且.
由題意可知：，.             2分
解得.            
∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.           3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.設(shè).
（ⅰ）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為.
由 解得：或
即（不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方）.        5分
則直線的斜率，直線的斜率.
∵ ，得 .
∴ .                 6分
（ⅱ）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為.
由消去得：.
因?yàn)?點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，顯然.
          8分
因?yàn)?，，，
所以


.
∴ .    即為直角三角形.                   11分
假設(shè)存在直線使得為等腰三角形，則.
取的中點(diǎn)，連接，則.
記點(diǎn)為.

另一方面，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo).
又
故與不垂直，矛盾.
所以 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，不存在直線使得為等腰三角形.              13分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。解題過程中，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積，“化證為算”，達(dá)到證明目的。