Question

（福建卷理）（本小題滿分13分）

已知A,B 分別為曲線C： +=1（y0,a>0）與x軸

的左、右兩個交點，直線過點B,且與軸垂直，S為上

異于點B的一點，連結AS交曲線C于點T.

(1)若曲線C為半圓，點T為圓弧的三等分點，試求出點S的坐標；

（II）如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在,使得O,M,S三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。                                  

Answer 1

，故存在,使得O,M,S三點共線.

解析:

解 方法一

(Ⅰ)當曲線C為半圓時，如圖，由點T為圓弧的三等分點得∠BOT=60°或120°.

(1)當∠BOT=60°時, ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

 (2)當∠BOT=120°時,同理可求得點S的坐標為,綜上,

(Ⅱ)假設存在,使得O,M,S三點共線.

由于點M在以SB為直線的圓上,故.

顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設直線AS的方程為.

由

設點

故,從而.

亦即

由得

由,可得即

經檢驗,當時,O,M,S三點共線.    故存在,使得O,M,S三點共線.

方法二:

(Ⅰ)同方法一.

(Ⅱ)假設存在a,使得O,M,S三點共線.

由于點M在以SO為直徑的圓上,故.

顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設直線AS的方程為

由

設點,則有

故

由所直線SM的方程為

O,S,M三點共線當且僅當O在直線SM上,即.

故存在,使得O,M,S三點共線.