Question

【題目】已知圓的圓心的坐標(biāo)為，且圓與直線：相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求的最小值；

（3）問：是否是定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) . (2) ； (3) 是定值，定值為-10.

【解析】

（1）根據(jù)圓與直線：相切，即圓心到直線的距離等于半徑，求出半徑，即可寫出圓；

（2）根據(jù)知當(dāng)為最大值時(shí)，有最小值；

（3）設(shè)中點(diǎn)為，，再設(shè)直線，聯(lián)立方程組，計(jì)算即可得出。

解：（1）∵圓與直線：相切，圓心為，

∴半徑，

∴圓的方程為.

（2）∵，其中是圓心到直線的距離，

∴最大時(shí)，最小.

∵當(dāng)是弦中點(diǎn)時(shí)，最大，且，

∴的最小值為.

（3）設(shè)中點(diǎn)為，則即，∴，

且，

∴.

當(dāng)與軸垂直時(shí)，方程為，代入圓方程得，

∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴.∵，∴，

∴；

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)方程為，

由，得，

∴，

∴，

∴，

∴是定值，定值為-10.