Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），a∈R．
（I）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）若a=1，試在函數(shù)f（x）的圖象上求兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且兩切點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在區(qū)間[-

1

2

，2]上．

Answer 1

（I）要使函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，則f'（x）≥0恒成立．
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=a-

a+1

x+1

=

ax+a-a-1

x+1

=

ax-1

x+1

，由f'（x）≥0得

ax-1

x+1

≥0，因?yàn)閤≥2，所以ax-1≥0，
ax≥1，即a≥

1

x

即可．因?yàn)楹瘮?shù)y=

1

x

在[2，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以y≤

1

2

，所以要使a≥

1

x

恒成立，則有a≥

1

2

．
即滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍[

1

2

，+∞）．
（Ⅱ）若a=1，則f（x）=x-2ln（x+1），f′(x)=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

．，設(shè)這兩個(gè)切點(diǎn)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
f′（x1）f′（x2）=

x1-1

x1+1

?

x2-1

x2+1

=-1，整理得x₁x₂=-1，即x2=-

1

x1

．
因?yàn)閮汕悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)均在區(qū)間[-

1

2

，2]上．所以-

1

2

≤x1≤2，-

1

2

≤x2≤2，即-

1

2

≤-

1

x1

≤2．
①若x₁＞0，則由不等式-

1

2

≤-

1

x1

≤2解得x₁≥2，所以此時(shí)x₁=2，x2=-

1

2

．
②若x₁＜0，則由不等式-

1

2

≤-

1

x1

≤2解得x1≤-

1

2

，所以此時(shí)x1=-

1

2

，x2=2．
當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=2-2ln3，當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，f(-

1

2

)=-

1

2

-2ln(1-

1

2

)=-

1

2

-2ln?

1

2

=2ln?2-

1

2

，
即兩切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，2-2ln3），(-

1

2

，2ln2-

1

2

)．