Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且此拋物線的準線被橢圓C截得的弦長為1．

（I）求橢圓C的標準方程；

（II）直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為，直線m是線段AB的垂直平分線，試問直線過定點坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根據拋物線的焦點坐標求得橢圓，結合以及，求得的值，進而求得橢圓的標準方程.

（II）首先根據在橢圓的內部，求得的取值范圍.分成的斜率存在或者不存在兩種情況進行分類討論，求出直線的方程，由此判斷直線過定點.

（I）拋物線的焦點為，則．拋物線的準線被橢圓C截得的弦長為，所以，結合，解得，．

故橢圓C的標準方程為．

（II）顯然點在橢圓C內部，故，且直線的斜率不為0

當直線l的斜率存在且不為0時，易知，設直線l的方程為

代入橢圓方程并化簡得：

設，，則，解得．

因為直線m是線段AB的垂直平分線，故直線，即：．

令，此時，，于是直線m過定點．

當直線l的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線m過定點

綜上所述，直線m過定點．