Question

【題目】平面圖形ABB1A1C1C如圖4所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC= ，A1B1=A1C1= ．現將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使△ABC與△A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接A2A，A2B，A2C，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題．
（Ⅰ）證明：AA1⊥BC；
（Ⅱ）求AA1的長；
（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BC，B1C1的中點為點O，O1 ， 連接AO，OO1 ， A1O，A1O1 ，
∵AB=AC，∴AO⊥BC
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC
∴AO⊥平面BB1C1C
同理A1O1⊥平面BB1C1C，∴AO∥A1O1 ， ∴A、O、A1、O1共面
∵OO1⊥BC，AO⊥BC，OO1∩AO=O，∴BC⊥平面OO1A1A
∵AA1平面OO1A1A，∴AA1⊥BC；
（Ⅱ）解：延長A1O1到D，使O1D=OA，則∵O1D∥OA，∴AD∥OO1 ， AD=OO1 ，
∵OO1⊥BC，平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1 ，
∴OO1⊥面A1B1C1 ，
∵AD∥OO1 ，
∴AD⊥面A1B1C1 ，
∵AD=BB1=4，A1D=A1O1+O1D=2+1=3
∴AA1= =5；
（Ⅲ）解：∵AO⊥BC，A1O⊥BC，∴∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角
在直角△OO1A1中，A1O=
在△OAA1中，cos∠AOA1=﹣
∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值為﹣ ．

【解析】（Ⅰ）證明AA1⊥BC，只需證明BC⊥平面OO1A1A，取BC，B1C1的中點為點O，O1 ， 連接AO，OO1 ， A1O，A1O1 ， 即可證得；（Ⅱ）延長A1O1到D，使O1D=OA，則可得AD∥OO1 ， AD=OO1 ， 可證OO1⊥面A1B1C1 ， 從而AD⊥面A1B1C1 ， 即可求AA1的長；（Ⅲ）證明∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角，在△OAA1中，利用余弦定理，可求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質和平面與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直才能正確解答此題．