Question

已知橢圓C₁，拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩點，將其坐標記錄于下表中：

x	3	-2	4
y	-2	0	-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的標準方程；
（Ⅱ）若過曲線C₁的右焦點F₂的任意一條直線與曲線C₁相交于A、B兩點，試證明在x軸上存在一定點P，使得的值是常數．

Answer 1

解：（Ⅰ）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有，
據此驗證4個點知（3，-2），（4，-4）在拋物線上，∴C₂的標準方程為y²=4x．…（2分）
設C₁：，把點（-2，0），（，）代入得：，解得．
∴C₁的標準方程為．…（6分）
（Ⅱ）①當直線AB不與x軸垂直時，設其方程為y=k（x-），代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²-8k²x+12k²-4=0，則
x_A+x_B=，x_Ax_B=．…（8分）
設點P（t，0），則=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B=．…（10分）
當，即時，對任意k∈R，=-．…（12分）
②當AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=，x_A=x_B=，y_Ay_B=-．
若，則=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B=
故存在x軸上的點P（），使得的值是常數．…（13分）
分析：（Ⅰ）驗證4個點知（3，-2），（4，-4）在拋物線上，（-2，0），（，）在橢圓上，由此可求C₁、C₂的標準方程；
（Ⅱ）分類討論，利用=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B，即可求得結論．
點評：本題主要考查拋物線、橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．