Question

（2013•江門二模）已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點都在坐標原點，直線l過點M（4，0）．
（1）寫出拋物線C₂的標準方程；
（2）若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁有公共點，求橢圓C₁C的長軸長的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的標準方程中的p與焦點的關系即可得到

p

2

=1即可得到拋物線的方程；
（2）設p（m，n），利用中點坐標公式可得OP中點為(

m

2

，

n

2

)．由于O、P兩點關于直線y=k（x-4）對稱，利用軸對稱的性質可得

n 2 =k( m 2 -4) n m •k=-1

，即可解出m，n，代人拋物線的方程可得k的值，再把直線l的方程y=k（x-4）與橢圓的方程聯立消去一個未知數，得到關于另一個未知數的一元二次方程，由于有公共點，可得△≥0，即可得到a的取值范圍，進而得到橢圓長軸長的最小值．

解答：解：（1）由題意，拋物線C₂的焦點F（1，0），則

p

2

=1，的p=2．
所以方程為：y²=4x．
（2）設p（m，n），
則OP中點為(

m

2

，

n

2

)，
因為O、P兩點關于直線
y=k（x-4）對稱，
所以

n 2 =k( m 2 -4) n m •k=-1

即

km-n=8k m+nk=0

，解之得

m= 8k2 1+k2 n= -8k 1+k2

，
將其代入拋物線方程，得：(-

8k

1+k2

)2=4×

8k2

1+k2

，所以k²=1
聯立 

y=k(x-4) x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y，得：（b²+a²）x²-8a²x+16a²-a²b²=0，
由直線l與橢圓有公共點，∴△=（-8a²）²-4（b²+a²）（16a²-a²b²）≥0，得a²+b²≥16，
注意到b²=a²-1，即2a²≥17，解得2a≥

34

，
因此，橢圓C₁長軸長的最小值為

34

．

點評：題綜合考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質、直線與圓錐曲線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、斜率的計算公式、中點坐標公式、軸對稱等基礎知識，需要較強的推理能力和計算能力、分析問題和解決問題的能力．