Question

【題目】如圖，矩形中，，以為折痕把折起，使點到達點的位置．

（1）若，求三棱錐體積的最大值；

（2）若，證明：平面平面；

Answer 1

【答案】(1) ； (2)證明見解析

【解析】

（1）過P作PO⊥BD于O，求出PO，當PO⊥平面ABD時，三棱錐P﹣ABD體積最大，由此能求出三棱錐P﹣ABD體積的最大值．

（2）推導出PD⊥PB，PA⊥PB，從而PB⊥平面PAD，推導出AD⊥平面PAB，由此能證明平面PAB⊥平面ABD．

（1）過P作PO⊥BD于O，則POBD＝PBPD，

解得PO，

當PO⊥平面ABD時，三棱錐P﹣ABD體積最大，

∴三棱錐P﹣ABD體積的最大值為：

VP﹣ABD．

（2）在△PBD中，PD⊥PB，

又PA⊥PB，PA∩PB＝P，

PA，PD平面PAD，

∴PB⊥平面PAD，

∵PB⊥AD，又AB⊥AD，AB∩PB＝B，

∴AD⊥平面PAB，

又AD平面ABD，∴平面PAB⊥平面ABD．