Question

已知數列{a_n}的前n項的和為S_n=12n-n²，
（1）求這個數列的通項公式           
（2）求S_n取最大值時n的值．
（3）設T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據a_n與S_n的關系，即可求這個數列的通項公式           
（2）根據二次函數的圖象和性質，即可求S_n取最大值時n的值．
（3）求出|a_n|的表達式，即可求T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|的值．

解答： 解：（1）當n≥2，a_n=S_n-S_n-1=12n-n²-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n，
當n=1時，a₁=12-1=11滿足a_n=13-2n，
∴這個數列的通項公式a_n=13-2n．
（2）∵S_n=12n-n²=-（n-6）²+36，
∴當n=6時，S_n取最大值．
（3）∵a_n=13-2n，
∴由13-2n≥0，即n≤

13

2

=6

1

2

，即n≤6時，a_n＞0，
當n≥7時，a_n＜0，
則若n≤6，T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|═a₁+a₂+a₃+…+a_n=S_n=12n-n²，
若n≥7，T_n=a₁+a₂+…+a₆-a₇-…-a_n=2（a₁+a₂+…+a₆）-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=2S₆-S_n=2（12×6-36）-（12n-n²）
=n²-12n+72．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式以及前n項和公式的計算，要求熟練掌握相應的公式，考查學生的計算能力．