Question

（2008•浦東新區一模）已知函數f(x)=

x2+1

-ax，其中a＞0．
（1）若2f（1）=f（-1），求a的值；
（2）當a≥1時，判斷函數f（x）在區間[0，+∞）上的單調性；
（3）若函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據2f（1）=f（-1）建立等式關系，解之即可求出a的值；
（2）若a≥1，任取0≤x₁＜x₂，然后通過化簡變形判定f（x₁）-f（x₂）與0的大小，從而確定函數f（x）在[0，+∞）上的單調性；
（3）根據函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數則任取1≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＜0，從而求出a的范圍．

解答：解：（1）由2f（1）=f（-1），可得：2

2

-2a=

2

+a3a=

2

，a=

2

3

…（4分）
（2）若a≥1，任取0≤x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=

x12+1

-ax1-

x 2 2 +1

+ax2=

x12+1

-

x 2 2 +1

-a(x1-x2)
=

x 2 1 - x 2 2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a(x1-x2)=(x1-x2)(

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a)…（6分）
因為0≤x1＜

x 2 1 +1

，0＜x2＜

x 2 2 +1

，所以0＜

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

＜1…（8分）
因為a≥1，則f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在[0，+∞）單調遞減     …（10分）
（3）任取1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=(x1-x2)(

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a)，因為f（x）單調遞增，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，又x₁-x₂＜0，那么

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a＞0恒成立 （12分）

2

2

＜

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

＜1，…（14分）   所以0＜a≤

2

2

…（16分）

點評：本題主要考查了函數求值以及函數單調性的判定和利用單調性求參數范圍等問題，屬于中檔題．