Question

【題目】已知數列{an}的各項都大于1，且a1=2，a ﹣an+1﹣a +1=0（n∈N*）．
（1）求證： ≤an＜an+1≤n+2；
（2）求證： + + +…+ ＜1．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an＞1，

由 ，

得 ，即an+1＞an，

∵ ，

∴an+1=（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1≤n+2，

，

∴

（2）證明：由 ，

∴

，

∴ ，

即 ，

，

∴ ＜1

【解析】（1）由an＞1，結合 ，可得an+1＞an；作差放縮可得an+1﹣an＜1，利用迭代法證得an+1≤n+2；最后再由作差放縮得到 ，進一步得到 ；（2）由 ，得 ，可得 ，然后利用裂項相消法證得答案．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．