Question

化簡(jiǎn)求值：
（1）已知tanα=2，求

sin(π-α)+2sin( π 2 -α)

2sinα+3cosα

的值．
（2）已知α∈(0，π)，β∈(-

π

2

，

π

2

)，且cosα=-

3

5

，sinβ=

5

13

，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）將所求的關(guān)系式通過誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，“弦”化“切”，將tanα=2代入計(jì)算即可；
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求得sinα及cosβ的值，再利用兩角差的余弦即可求得cos（α-β）的值．

解答：解：（1）∵tanα=2，
∴原式=

sinα+2cosα

2sinα+3cosα

=

tanα+2

2tanα+3

=

2+2

2×2+3

=

4

7

；
（2）∵α∈（0，π），且cosα=-

3

5

，
∴sinα=

1-cos2α

=

4

5

；
又β∈（-

π

2

，

π

2

），sinβ=

5

13

，
∴cosβ=

1-sin2β

=

12

13

；
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=-

3

5

×

12

13

+

4

5

×

5

13

=-

16

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于中檔題．