Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若對任意，≥0恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具體見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出導函數，分別討論≤0，＞0時，的正負，即可求解。

（Ⅱ）當＜0，為單調遞增函數，且＜0，不滿足題意

當＝0，＞0恒成立，滿足題意。

當＞0時，＝≥0恒成立，等價于≥，令，結合單調性，即可求解。

（Ⅰ）解：函數的定義域為R，．

（1）當≤0時，因為＞0，所以＞0，函數在（，）上單調遞增；

（2）當＞0時，由＞0，得＞，由＜0，得＜，

所以，函數在（，）上單調遞減，在（，）上單調遞增．

（Ⅱ）解：（1）由（Ⅰ）知，當＜0時，在（，）上單調遞增，

因為＞0，＜0，所以存在（，0），使＝0．

所以，當（，）時，＜0，不合題意．

說明：當＜0時，＜1，則＜0，≥0不恒成立．

（2）當＝0時，＞0恒成立；

（3）當＞0時，＝≥0恒成立，等價于對任意，≥恒成立，

令，則，

當（，1）時，＞0，為增函數；當（1，）時，＜0，為

減函數，所以，于是≥，所以　0＜≤．

綜上，實數的取值范圍為［0，］．