Question

如圖，橢圓的長軸長為，點、、為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，過中心，且，．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）設、是橢圓上位于直線同側的兩個動點（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關系，并求證直線的斜率為定值.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）利用題中條件先得出的值，然后利用條件，結合橢圓的對稱性得到點的坐標，然后將點的坐標代入橢圓方程求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件
得到直線與的斜率直線的關系（互為相反數），然后設直線的方程為，將此直線的方程與橢圓方程聯立，求出點的坐標，注意到直線與的斜率之間的關系得到點的坐標，最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.
（1），，
又是等腰三角形，所以，
把點代入橢圓方程，求得，
所以橢圓方程為；
（2）由題易得直線、斜率均存在，
又，所以，
設直線代入橢圓方程，
化簡得，
其一解為，另一解為，
可求，
用代入得，，
為定值.