Question

【題目】已知命題α：函數的定義域是R；命題β：在R上定義運算：xy=x（1-y）．不等式（x-a）（x+a）＜1對任意實數x都成立．

（1）若α、β中有且只有一個真命題，求實數a的取值范圍；

（2）若α、β中至少有一個真命題，求實數a的取值范圍；

（3）若α、β中至多有一個真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （，0）∪[，4）；(2) （，4）；(3) （∞，0）∪[，+∞）

【解析】

分別求出命題α為真時和命題β為真時a的取值范圍，再求：（1）若α為真、β為假時和α為假、β為真時對應a的取值范圍，求并集即可；（2）求出α為假且β為假時a的取值范圍，再求補集即可；（3）求出α為真且β為真時a的取值范圍，再求補集即可．

函數的定義域是R，則ax2ax+1＞0恒成立，

a=0時，滿足條件；

a≠0時，則，解得0＜a＜4；

所以命題α為真命題時，a∈[0，4）；

又在R上定義運算：xy=x（1y），

不等式（xa）（x+a）＜1可化為（xa）（1xa）＜1，

即x2xa2+a+1＞0對任意的x∈R都成立；

令△=14（a2+a+1）＜0，

解得＜a＜，

所以命題β為真時a的取值范圍是a∈（，）．

（1）若α為真、β為假時，有，即≤a＜4；

若α為假、β為真時，有，即＜a＜0；

綜上，實數a的取值范圍是（，0）∪[，4）；

（2）若α為假且β為假時，有，即a≤或a≥4；

所以α、β中至少有一個真命題時，實數a的取值范圍是（，4）；

（3）若α為真且β為真時，有，即0≤a＜；

所以α、β中至多有一個真命題時，實數a的取值范圍是（∞，0）∪[，+∞）．