Question

(本小題滿分13分)

已知定義在R上的函數(shù)(a，b，c，d為實(shí)常數(shù))的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x＝1時(shí)f(x)取得極值.

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式；

（Ⅱ）證明：對任意∈[－1，1]，不等式成立；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間(1，∞)內(nèi)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）見解析（3）(－∞，1]

解析:

（Ⅰ）因?yàn)?i>f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即d＝0.（1分）

又，即，則b＝0.

所以，.                          （2分）

因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)f(x)取得極值，則，且.

即，故.       （4分）

（Ⅱ）因?yàn)?img width=112 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/178/77578.gif" >，則當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，.

所以f(x)在[－1，1]上是減函數(shù).                                      （5分）

所以當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，，.       （7分）

故當(dāng)∈[－1，1]時(shí)，.             （8分）

（Ⅲ）因?yàn)?img width=116 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/168/77568.gif" >，則，.    （9分）

由，得，即，即.

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，從而在處取極小值.                                                      （11分）

又，若函數(shù)在區(qū)間(1，∞)內(nèi)無零點(diǎn)，則，

所以，即m≤1.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，1].