Question

【題目】a，b為正數，給出下列命題：

①若a2﹣b2＝1，則a﹣b＜1；

②若＝1，則a﹣b＜1；

③ea﹣eb＝1，則a﹣b＜1；

④若lna﹣lnb＝1，則a﹣b＜1．

其中真命題的有_____．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

不正確的結論，列舉反例，正確的結論，進行嚴密的證明，即可得出結論．

①中，a，b中至少有一個大于等于1，則a+b＞1，由a2-b2=（a+b）（a-b）=1，所以a-b＜1，故①正確．

②中＝=1, 只需a-b=ab即可，取a=2，b=,滿足上式但a-b=>1故②錯；
③構造函數y=x-ex，x＞0，y′=1-ex＜0，函數單調遞減，∵ea-eb=1，∴a＞b，∴a-ea＜b-eb，
∴a-b＜ea-eb=1，故③正確；

④若lna-lnb=1，則a=e，b=1，a-b=e-1＞1，故④不正確．

故答案為：①③．