Question

【題目】已知各項均為正數的數列{an}滿足：Sn為數列{an}的前n項和，且2，an ， Sn成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若cn=nan ， 求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2，an，Sn成等差數列．

∴2an=Sn+2，

∴n=1，2a1=a1+2，解得a1=2；

當n≥2時，2an﹣1=Sn﹣1+2，∴2an﹣2an﹣1=an，化為an=2an﹣1，

∴數列{an}成等比數列，首項為2，公比為2，

∴an=2n．

（2）解：cn=nan=n2n．

∴數列{cn}的前n項和Tn=2+2×22+3×22+…+n2n，

2Tn=22+2×23+…+（n﹣1）2n+n2n+1，

∴﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n2n+1= ﹣n2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，

∴Tn=（n﹣1）2n+1+2．

【解析】（1）由2，an ， Sn成等差數列．可得2an=Sn+2，再利用遞推關系、等比數列的通項公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．