Question

【題目】如圖所示,ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點.

求證:（1）MN∥平面PAD;

（2）平面QMN∥平面PAD.

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【解析】

(1)如圖以A為原點,以AB,AD,AP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,

設B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),則C(b,d,0),，求出，因為平面PAD的一個法向量為m=(1,0,0),， 所以·m=0,即⊥m.，利用直線與平面平行的判定定理，可證MN∥平面PAD.

(2)=(0,-d,0),⊥m,，又QN不在平面PAD內,又QN∥平面PAD.，即可得證.

(1) 證明:如圖以A為原點,以AB,AD,AP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,

設B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),則C(b,d,0),

因為M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點,

所以M,N,Q,

所以.

因為平面PAD的一個法向量為m=(1,0,0),

所以·m=0,即⊥m.

因為MN不在平面PAD內,故MN∥平面PAD.

(2)=(0,-d,0),⊥m,

又QN不在平面PAD內,又QN∥平面PAD.

又因為MN∩QN=N,所以平面MNQ∥平面PAD