Question

已知ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方體.

(1)求A₁C₁與B₁C所成角的大小；

(2)求A₁C與AD₁所成角的大小；

(3)若E、F分別為AB、AD的中點，求A₁C₁與EF以及AD₁與EF所成角的大小.

Answer 1

解析：(1)如下圖甲中，連結AC、AB₁.由A₁C是正方體，知AA₁CC₁,故A₁ACC₁是平行四邊形，所以AC∥A₁C₁.從而B₁C與AC所成的角就是A₁C₁與B₁C所成的角.

由AB₁=AC=B₁C,知∠B₁CA=60°，即A₁C₁與B₁C所成的角為60°

(2)如圖乙中，延長BC到E，使CE=BC，連結D₁E、AE，由BCA₁D₁,知CEA₁D₁，故四邊形A₁CED₁是平行四邊形，所以D₁E∥A₁C.從而D₁E與AD₁所成的角就是A₁C與AD₁所成的角.

設正方體的棱長為a，則

AD₁=，A₁C=，.

由余弦定理，知

cos∠AD₁E=.

所以A₁C與AD₁所成的角為90°.

(3)如圖丙中，連結AC、BD，由A₁ACC₁,知A₁ACC₁是平行四邊形，故AC∥A₁C₁，所以AC與EF所成的角就是A₁C₁與EF所成的角.由EF是△ABD的中位線，知EF∥BD，知EF⊥AC,即所求角為90°.在圖丁中，連結BD、D₁B₁.由DD₁BB₁,知B₁BDD₁是平行四邊形，故D₁B₁∥DB，又由EF是△ABD的中位線，知EF∥BD，故EF∥B₁D₁，所以AD₁與B₁D₁所成的角就是AD₁與EF所成的角.連結AB₁，由AB₁=AD₁=D₁B₁，知AD₁與D₁B所成角為60°，即有AD₁與EF所成角為60°.