Question

已知函數f(x)=

10x

10x+1

，求f^-1（x）并判斷f^-1（x）的單調性．

Answer 1

分析：由y=

10x

10x+1

解得10x=

y

1-y

，再轉化為對數形式，然后由10^x＞0，求得反函數的定義域．用定義法判斷其單調性，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形與零比較，得到f^-1（x₁）與f^-1（x₂）關系，可得結論．

解答：解：由y=

10x

10x+1

解得10x=

y

1-y

，
∵10^x＞0，
∴0＜y＜1；
于是：f-1(x)=lg

x

1-x

，x∈（0，1）．
當0＜x₁＜x₂＜1時，

x1

1-x1

-

x2

1-x2

=

x1-x2

(1-x1)(1-x2)

∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴

x1

1-x1

＜

x2

1-x2

，
于是：lg

x1

1-x1

＜lg

x2

1-x2

，
即：f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在（0，1）上是增函數．

點評：本題主要考查函數的反函數的求法及其單調性的判斷，在求反函數時，要抓住x與y互換和原函數與反函數定義域與值域互換這兩點．