Question

【題目】已知f（x）=lnx﹣x+a+1
（1）若存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的范圍；
（2）求證：當x＞1時，在（1）的條件下， 成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=lnx﹣x+a+1（x＞0），

∴f′（x）=

∴函數在（0，1）上，f′（x）＞0，在（1，+∞）上，f′（x）＜0，

∴函數在x=1處取得最大值f（1）=a，

∵存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，

∴a≥0；

（2）證明：令g（x）= ，

則g′（x）=x+a﹣lnx﹣1，

∵f（x）=lnx﹣x+a+1≤f（1）=a，

∴x﹣lnx﹣1≥0，

∴g′（x）≥0

∵x＞1，

∴g（x）＞g（1）=0，

∴ 成立．

【解析】（1）求導數，確定函數在x=1處取得最大值f（1）=a，即可求a的范圍；（2）令g（x）= ，證明g′（x）≥0，即可證明．