Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的菱形，，底面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，于，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）求出平面的一個(gè)法向量并證明平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

試題分析：這是一道應(yīng)用空間向量解決空間平行與空間角問題的試題.（1）先確定、、的坐標(biāo)，然后設(shè)出平面的一個(gè)法向量為，由確定的一個(gè)取值，最后驗(yàn)證，即可作出平面的判斷；（2）先找到的一個(gè)法向量為，然后計(jì)算，最后結(jié)合圖形，確定二面角的余弦值是，還是.
試題解析：由題設(shè)知：在中，

、、、  4分
（1）    5分
，    6分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則
令，得    8分
∵
∴平面           10分
（2）由（1）得平面的法向量，平面的一個(gè)法向量為   12分
設(shè)二面角的平面角為，則
即二面角的余弦值為           14分.