Question

（13分）已知函數，曲線在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為，若時，有極值．

(I) 求a、b、c的值；

(II) 求在[-3,1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解析：(I)由，得

．……………………………………2分

當x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0．       ①

當時，有極值，則，可得4a+3b+4=0．②

由①、②解得    a=2,b=-4．……………………………………5分

設切線l的方程為  ．

由原點到切線l的距離為，

則．解得m=±1．

∵切線l不過第四象限，

∴m=1．……………………………………6分

由于l切點的橫坐標為x=1，∴．

∴1+a+b+c=4．

∴c=5．…………………………………………………………………7分

(II)由(I)可得，

∴．……………………………………8分

令，得x=－2, ．

x	[-3,-2)	-2	(-2, )		(,1]
	+	0	-	0	+
f(x)		極大值		極小值

……………………………………11分

∴f(x)在x=－2處取得極大值f(-2)=13．

在處取得極小值=．

又f(-3)=8，f(1)=4．

∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13，最小值為．……………………………………13分