Question

【題目】如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直， ，,點在線段上.

(Ⅰ) 若點為的中點，求證：平面；

(Ⅱ) 求證：平面平面；

(Ⅲ) 當平面與平面所成二面角的余弦值為時，求的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).

【解析】

(1)建立空間直角坐標系，利用空間向量的結論可證得BM⊥平面ADEF的法向量，從而可證得線面平行；

(2)分別求得平面，平面的法向量，由法向量的數量積為0可證得面面垂直；

(3)設，由題意可得點M的坐標，分別求得兩個半平面的法向量，由二面角的余弦值得到關于的方程，解方程求得的值即可確定的長.

(1)∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD為交線，

∴ED⊥平面ABCD，由已知得DA，DE，DC兩兩垂直，

如圖建系D-xyz，可得D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1).

由M為C的中點，知，故.

易知平面ADEF的法向量為，

，

∵BM平面ADEF，∴BM//平面ADEF.

(2)由(1)知，

設平面BDE的法向量為，

平面BEC的法向量為，

由得，

由得，

，故平面BDE⊥平面BEC.

(3)設，設，計算可得，

則，

設平面BDM的法向量為，

由得，

易知平面ABF的法向量為，

由已知得 ，

解得，此時，

，則，即AM的長為.