Question

已知橢圓和動圓，直線：與和分別有唯一的公共點和．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）求的最大值，并求此時圓的方程．

Answer 1

（Ⅰ）[1，2）（Ⅱ）1，x²+y²=2

解析試題分析：（Ⅰ）將直線方程與橢圓方程聯立消去整理成關于的一元二次方程，因為直線與橢圓只有一個公共點，則判別式為0，列出關于m，k的方程，再由直線與圓只有一個公共點知，直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑找出r,m,k關系，將這兩個關于m,k的方程聯立，消去m，將r表示成k的函數，利用函數求值域的方法，求出r范圍；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得A,B兩點的橫坐標，利用弦長公式將AB用r表示出來，利用函數求最值的方法，求出|AB|的最大值及取最大值時的r值，從而寫出圓的方程.
試題解析：（Ⅰ）由，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²﹣1）=0．
由于l與C₁有唯一的公共點A，故△₁=64k²m²﹣16（1+4k²）（m²﹣1）=0，  2分
從而m²=1+4k² ①
由，得（1+k²）x²+2kmx+m²﹣r²=0．
由于l與C₂有唯一的公共點B，故△₂=4k²m²﹣4（1+k²）（m²﹣r²）=0，  4分
從而m²=r²（1+k²） ②
由①、②得k²=．
由k²≥0，得1≤r²＜4，所以r的取值范圍是[1，2）．  6分
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）的解答可知
x₁=﹣=﹣，x₂=﹣=﹣．
|AB|²=（1+k²）（x₂﹣x₁）²=（1+k²）•=•k²•（4﹣r²）²
=•（4﹣r²）²=，  9分
所以|AB|²=5﹣（r²+）（1≤r＜2）．
因為r²+≥2×2=4，當且僅當r=時取等號，
所以當r=時，|AB|取最大值1，此時C₂的方程為x²+y²=2．  12分
考點：直線與橢圓的位置關系，直線與圓的位置關系，最值問題，轉化與化歸思想，運算求解能力