Question

（2009•孝感模擬）如圖，O（0，0）A（1，0）為頂點(diǎn)作△OAP₁，再以P₁和P₁A的中B為頂點(diǎn)作△P₁BP₂，再P₂和P₂B的中C為頂點(diǎn)作△P₂CP₃，…，如此繼續(xù)下去．有如下結(jié)論：
①所作的正三角形的邊長構(gòu)成公比為

1

2

的等比數(shù)列；
②每一個(gè)正三角形都有一個(gè)頂點(diǎn)在直線AP₂x=1）上；
③第六個(gè)正三角形的不在第五個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)P₆的坐標(biāo)是(

63

64

，

21

64

，

3

)；
④第n個(gè)正三角形的不在第n-1個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)P_n的橫坐標(biāo)是x_n，則

lim

n→∞

xn=1．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

①②③④

（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：根據(jù)O（0，0）A（1，0）為頂點(diǎn)作△OAP₁，再以P₁和P₁A的中B為頂點(diǎn)作△P₁BP₂，再P₂和P₂B的中C為頂點(diǎn)作△P₂CP₃，…，如此繼續(xù)下去，根據(jù)規(guī)律可判定①②的真假，結(jié)合圖形求出點(diǎn)P₆的坐標(biāo)，可判定③的真假，求出第n個(gè)正三角形的不在第n-1個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)P_n的橫坐標(biāo)x_n，x_n=1-

1

2n-1

，然后求極限可得結(jié)論．

解答：解：由題意可得，每一個(gè)正三角形的邊長都是上個(gè)三角形的邊長的

1

2

，故①正確；
根據(jù)圖形的規(guī)律可知每一個(gè)正三角形都有一個(gè)頂點(diǎn)在直線AP₂x=1上，故②正確；
第六個(gè)正三角形的邊長為

1

64

，故頂點(diǎn)P₆的橫坐標(biāo)為

63

64

，P₅的縱坐標(biāo)為

3

2

-

3

8

-

3

16

=

5 3

16

從而頂點(diǎn)P₆的縱坐標(biāo)為

5 3

16

+

3

64

=

21 3

64

，故③正確；
第n個(gè)正三角形的不在第n-1個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)P_n的橫坐標(biāo)是x_n，x_n=1-

1

2n-1

，則

lim

n→∞

xn=1，故④正確．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了識(shí)圖能力，將圖形問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題解決即可，屬于中檔題．