Question

已知函數．
（Ⅰ）若函數在上為增函數，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）當且時，證明： .

Answer 1

（I）的取值范圍為.（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（I）函數在上為增函數，則導數在上恒成立，即 在上恒成立.這只需即可.（Ⅱ）注意用第（I）題的結果.由（I）可得， ，從而得恒成立，（當且僅當時，等號成立），由此得，即.如何將這個這個不等式與待證不等式聯系起來？在中，令，得.
由此得，即.這樣疊加即可得：.
試題解析：（I）函數的定義域為.            1分
在上恒成立，即在上恒成立，  2分
∵  ∴，∴的取值范圍為               4分
（Ⅱ）由（I）當，時，，又，
∴（當時，等號成立），即          5分
又當時，設，   
則∴在上遞減，
∴，即在恒成立，
∴時， ①恒成立，（當且僅當時，等號成立），  7分
∴當時，，由①得，即   ..②.
當時，，，在中，令，得 .. ③.
∴由②③得，當時，，即.      10分
∴，
，
，

.
∴.                       12分