Question

已知正實數x，y滿足等式[logy(1-

1

x

)+1]•[log(x+3)y]=1，
（1）試將y表示為x的函數y=f（x），并求出定義域和值域．
（2）是否存在實數m，使得函數g（x）=mf（x）-

f(x)

+1有零點？若存在，求出m的取職范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用對數的運算性質和換底公式進行轉化去掉對數符號是解決本題的關鍵，進行同底化找x，y之間的關系，然后根據對數式有意義的條件列出關于自變量的不等式，求出該函數的定義域，結合函數解析式的特征，求出函數的值域；
（2）利用換元法將方程有解問題轉化為求某個函數的值域問題，注意分離變量思想的運用．

解答：解：（1）由等式的logyy(1-

1

x

)=logy(x+3)，則y(1-

1

x

)=x+3
即y=

x(x+3)

x-1

由題意知

x＞0 y＞0且y≠1 1- 1 x ＞0

，解得x＞1，∴f（x）=

x(x+3)

x-1

的定義域是（1，+∞）．
令x-1=t，則x=t+1，且t＞0，y=

(t+1)(t+4)

t

=t+

4

t

+5，根據基本不等式得出函數f（x）的值域是[9，+∞）．
（2）若存在滿足題意的實數m，則關于x的方程mf（x）-

f(x)

+1=0在區間（1，+∞）上有實解
令

f(x)

=u，則由（1）知u∈[3，+∞）
問題轉化為關于u的方程mu²-u+1=0在區間[3，+∞）上有實解，
化為：m=-

1

u2

+

1

u

=-(

1

u

-

1

2

)2+

1

4

又

1

u

∈(0，

1

3

]，
所以m∈(0，

2

9

]，
即存在滿足題意的實數m，其取值范圍是(0，

2

9

]．

點評：本題屬于函數與方程的綜合問題，考查學生對數運算的能力、函數定義域的思想、值域的求法、方程有解問題的轉化方法和分離變量的思想，考查學生的轉化與化歸能力．