Question

（2013•西城區二模）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD為正方形，E為側棱PD上一點，F為AB上一點．該四棱錐的正（主）視圖和側（左）視圖如圖2所示．
（Ⅰ）求四面體PBFC的體積；
（Ⅱ）證明：AE∥平面PFC；
（Ⅲ）證明：平面PFC⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（I）利用左視圖可得 F為AB的中點，即可得到三角形BFC的面積，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面體PBFC的底面BFC上的高，利用三棱錐的體積計算公式即可得到；
（II）利用三角形的中位線定理即可得到EQ∥CD，EQ=

1

2

CD．再利用底面正方形的性質可得AF∥CD，AF=

1

2

CD，利用平行四邊形的判定和性質定理即可得到AE∥FQ，利用線面平行的判定定理即可證明結論；
（III）利用線面垂直的性質定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，從而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性質可得AE⊥PD，利用線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可證明結論．

解答：（Ⅰ）解：由左視圖可得 F為AB的中點，
∴△BFC的面積為 S=

1

2

•1•2=1．
∵PA⊥平面ABCD，
∴四面體PBFC的體積為VP-BFC=

1

3

S△BFC•PA=

1

3

•1•2=

2

3

．
（Ⅱ）證明：取PC中點Q，連接EQ，FQ．
由正（主）視圖可得 E為PD的中點，
∴EQ∥CD，EQ=

1

2

CD．
又∵AF∥CD，AF=

1

2

CD，∴AF∥EQ，AF=EQ．
∴四邊形AFQE為平行四邊形，∴AE∥FQ．
∵AE?平面PFC，FQ?平面PFC，
∴直線AE∥平面PFC．
（Ⅲ）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵平面ABCD為正方形，∴AD⊥CD．
∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E為PD中點，∴AE⊥PD．
∴AE⊥平面PCD．
∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．
∵FQ?平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．

點評：正確理解三視圖，熟練掌握三角形BFC的面積、三棱錐的體積計算公式、三角形的中位線定理、正方形的性質、平行四邊形的判定和性質定理、線面平行的判定定理、線面垂直的性質定理和判定定理、等腰三角形的性質、面面垂直的判定定理是解題的關鍵．