Question

【題目】已知拋物線的焦點為，點的坐標為，點在拋物線上，且滿足，（為坐標原點）.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作斜率乘積為1的兩條不重合的直線，且與拋物線交于兩點，與拋物線交于兩點，線段的中點分別為，求證：直線過定點，并求出定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x.（2）直線GH過定點(4,0)

【解析】分析：（1）直接把點M,N的坐標代入得p的值，即得拋物線的方程.(2)

先求出直線GH的方程y－2k＝[x－(2k2－4k＋6)]，再化簡分析找到它的定點.

詳解：（Ⅰ）解：，點M的坐標為(6,4)，可得點N的坐標為(9,6)，

∴36＝18p，∴p＝2，

所以拋物線C的方程為y2＝4x.

（Ⅱ）證明:由條件可知，直線l1，l2的斜率存在且均不能為0，也不能為1、-1

設l1：y＝k(x－6)＋4，則l2的方程為y＝(x－6)＋4，

將l1方程與拋物線方程聯立得ky2－4y＋16－24k＝0，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝，又y1＋y2＝k(x1＋x2－12)＋8，

∴x1＋x2＝，

∴點G的坐標為，

用代替k，得到點H坐標為(2k2－4k＋6,2k)，

所以

∴GH方程為：y－2k＝[x－(2k2－4k＋6)]．

整理得

令y＝0，則x＝4，所以直線GH過定點(4,0)