Question

【題目】在三棱柱中，側面是邊長為2的菱形，，.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若底面是以為直角頂點的直角三角形，且，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

(1)由菱形的性質可得，由等腰三角形的性質可得，從而可得平面，進而可得結果；（2）由（1）可知，，，則，又，則平面，以為坐標原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立坐標系，求出平面的法向量與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

（1）證明：連接，∵四邊形是菱形，且，

∴為等邊三角形.

取的中點，連接，，則，

又∵，

∴，

∵，、平面，

∴平面，

又∵平面，

∴.

（2）由（1）及題意可知，，，則，又，則平面，以為坐標原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的坐標系，

則，，，，，

∴，，，

∴，

∴，

∴，

設平面的法向量為，

則，可得，故可取.

設平面的法向量為，同理可取，

∴，

∴二面角的正弦值為.