Question

如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積.

Answer 1

當a≤3b，x=時，四邊形面積S_max=,當a＞3b，x=b時，四邊形面積S_max=ab-b².

設四邊形EFGH的面積為S，
則S_△AEH=S_△CFG=x²,
S_△BEF=S_△DGH=（a-x）（b-x），
∴S=ab-2［²+（a-x）（b-x）］
=-2x²+（a+b）x=-2（x-²+
由圖形知函數的定義域為{x|0＜x≤b}.
又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b時，
則當x=時，S有最大值;
若＞b,即a＞3b時，
S（x）在（0,b］上是增函數，
此時當x=b時，S有最大值為
-2(b-)²+=ab-b²,
綜上可知，當a≤3b，x=時，
四邊形面積S_max=,
當a＞3b，x=b時，四邊形面積S_max=ab-b².