Question

已知點(diǎn)M是拋物線y²=8x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：（x-3）²+（y+1）²=1上，則|AM|+|MF|的最小值為

4

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線方程求得準(zhǔn)線方程，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥準(zhǔn)線，垂足為N，根據(jù)拋物線定義可得|MN|=|MF|，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|MA|+|MN|的最小值，根據(jù)A在圓C上，判斷出當(dāng)N，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|MN|有最小值，進(jìn)而求得答案．

解答：解：拋物線y²=8x的準(zhǔn)線方程為：x=-2
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥準(zhǔn)線，垂足為N
∵點(diǎn)M是拋物線y²=8x的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)
∴|MN|=|MF|
∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|
∵A在圓C：（x-3）²+（y+1）²=1，圓心C（3，-1），半徑r=1
∴當(dāng)N，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|MF|最小
∴（|MA|+|MF|）_min=（|MA|+|MN|）_min=|CN|-r=5-1=4
∴（|MA|+|MF|）_min=4
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是圓與圓錐曲線的綜合，考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查距離和的最小．解題的關(guān)鍵是利用化歸和轉(zhuǎn)化的思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)N，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|MF|最小．