Question

（本小題滿分13分）等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，已知數(shù)列是等比數(shù)列，其中k₁=1，k₂=7，k₃=25.

（1）求數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)；

（2）若a₁=9，設(shè)b_n= +，S_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+ b_n²， T_n= + + +…+，試判斷數(shù)列{S_n+T_n}前100項(xiàng)中有多少項(xiàng)是能被4整除的整數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

（1）  （2）前項(xiàng)中有100項(xiàng)是能被4整除的整數(shù)

【解析】（1）利用等差和等比數(shù)列的性質(zhì)得出關(guān)于k_n的式子，進(jìn)一步求出通項(xiàng)；（2）先求出b_n，進(jìn)一步求出的通項(xiàng)公式，再利用二項(xiàng)式知識(shí)解決整除問(wèn)題

解：（1）由得到：，所以：，

因?yàn)楣��?/dfn>，得：，即，

所以等比數(shù)列的公比是，……………………4分

得到：，即.…………………………………………6分

（2），所以： ，…………………7分

則：-2=，

所以：=………………………………………9分[來(lái)源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K]

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：，能被4整除，也能被4整除，

所以能被4整除.………………………………………………………………11分

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，

能被4整除，也能被4整除，

所以能被4整除.………………………………………………………………12分

所以數(shù)列前項(xiàng)中有100項(xiàng)是能被4整除的整數(shù).…………………13分