Question

已知一個等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q：
（1）數列a₁+a₂+a₃，a₂+a₃+a₄，a₃+a₄+a₅，…是等比數列嗎？如果是，首項和公比分別是多少？
（2）數列{

1

an

}是等比數列嗎？如果是，首項和公比分別是多少？

Answer 1

考點：等比關系的確定,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于a₁+a₂+a₃=a1(1+q+q2)，a₂+a₃+a₄=a1q(1+q+q2)，a₃+a₄+a₅=a1q2(1+q+q2)，…，
∴數列a₁+a₂+a₃，a₂+a₃+a₄，a₃+a₄+a₅，…，即可判斷出是等比數列．
（2）由于an=a1qn-1，可得

1

an

=

1

a1

•(

1

q

)n-1．即可判斷出．

解答： 解：（1）∵a₁+a₂+a₃=a1(1+q+q2)，
a₂+a₃+a₄=a1q(1+q+q2)，
a₃+a₄+a₅=a1q2(1+q+q2)，…，
∴數列a₁+a₂+a₃，a₂+a₃+a₄，a₃+a₄+a₅，…是等比數列，其首項為a1(1+q+q2)，公比為q．
（2）∵an=a1qn-1，
∴

1

an

=

1

a1

•(

1

q

)n-1．
∴數列{

1

an

}是等比數列，首項和公比分別是

1

a1

，

1

q

．

點評：本題考查了等比數列的定義、通項公式及其判定方法，屬于基礎題．