Question

【題目】若點(diǎn)（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均勻分布出現(xiàn)．
（1）點(diǎn)M（x，y）橫、縱坐標(biāo)分別由擲骰子確定，第一次確定橫坐標(biāo)，第二次確定縱坐標(biāo)，則點(diǎn)M（x，y）落在上述區(qū)域的概率？
（2）試求方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，點(diǎn)（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如圖的正方形區(qū)域，

其中p、q都是整數(shù)的點(diǎn)有6×6=36個(gè)，

點(diǎn)M（x，y）橫、縱坐標(biāo)分別由擲骰子確定，即x、y都是整數(shù)，且1≤x≤3，1≤y≤3，

點(diǎn)M（x，y）落在上述區(qū)域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9個(gè)點(diǎn)，

所以點(diǎn)M（x，y）落在上述區(qū)域的概率P1=

（2）解：|p|≤3，|q|≤3表示如圖的正方形區(qū)域，易得其面積為36；

若方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）≥0，

解可得p2+q2≥1，為如圖所示正方形中圓以外的區(qū)域，其面積為36﹣π，

即方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的概率，P2= ．

【解析】（1）是古典概型，首先分析可得|p|≤3，|q|≤3整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而分析可得點(diǎn)M的縱橫坐標(biāo)的范圍，可得M的個(gè)數(shù)，由古典概型公式，計(jì)算可得答案；（2）是幾何概型，首先可得|p|≤3，|q|≤3表示正方形區(qū)域，易得其面積，進(jìn)而根據(jù)方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）≥0，變形可得p2+q2≥1，分析可得其表示的區(qū)域即面積，由幾何概型公式，計(jì)算可得答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用幾何概型的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．