Question

平面直角坐標系中有兩個動點A、B，他們的起始坐標分別是（0，0），（2，2），動點A，B從同一時刻開始每隔1秒鐘向上、下、左、右四個方向中的一個方向移動一個單位．已知動點A向左、右移動1個單位的概率都是

1

4

，向上移動一個單位的概率是

1

3

，向下移動一個單位的概率是p； 動點B向上、下、左、右移動一個單位的概率都是q．
（1）求p和q的值．
（2）試判斷最少需要幾秒鐘，動點A、B能同時到達點D（1，2），并求在最短時間內它們同時到達點D的概率．

Answer 1

分析：（1）由于質點向四個方向移動的概率之和為1，故可得結論；
（2）質點A至少需要經過3秒才能到達D點，質點B至少需要1秒才能到達D點，所以至少需要3秒，A，B才能同時到達點D（1，2），質點A經過3秒到達D點有三條路徑，但均為向上移動兩步，向右移動一步；質點B經過3秒到達D點有9條路徑，由于A，B相互獨立，所以分別計算概率再相乘即可．

解答：解：（1）由已知得：

1

4

+

1

4

+

1

3

+p=1，∴p=

1

6

，
又由 4q=1得，q=

1

4

；
（2）質點A至少需要經過3秒才能到達D點，質點B至少需要1秒才能到達D點，所以至少需要3秒，A，B才能同時到達點D（1，2）
質點A經過3秒到達D點的概率為3•(

1

3

)2•

1

4

=

1

12

質點B經過3秒到達D點的概率為9（

1

4

）³=

9

64

因為A，B相互獨立，所以它們同時到達C點的概率為

1

12

×

9

64

=

3

256

．

點評：本題考查概率的應用問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．