Question

已知函數(shù)的定義域為，若在上為增函數(shù)，則稱 為“一階比增函數(shù)”.
(Ⅰ) 若是“一階比增函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅱ) 若是“一階比增函數(shù)”，求證：，；
（Ⅲ）若是“一階比增函數(shù)”，且有零點，求證：有解.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)本小題關(guān)鍵是先得到，
（Ⅲ）本小題要結(jié)合(Ⅱ)的結(jié)論來證明。

試題分析：解：（I）由題在是增函數(shù)，
由一次函數(shù)性質(zhì)知
當時，在上是增函數(shù)，
所以 
（Ⅱ）因為是“一階比增函數(shù)”，即在上是增函數(shù)，
又，有，
所以，                 
所以，
所以   
所以                              
（Ⅲ）設(shè)，其中.
因為是“一階比增函數(shù)”，所以當時，
取，滿足，記
由（Ⅱ）知，同理，
所以一定存在，使得，
所以一定有解                             
點評：證明函數(shù)在區(qū)間上為增（減）函數(shù)的方法是：令，若
（），則函數(shù)為增（減）函數(shù)。