Question

數列{a_n}滿足a₁=1且an+1=(1+

1

n2+n

)an+

1

2n

(n≥1)．
（1）用數學歸納法證明：a_n≥2（n≥2）
（2）設bn=

an+1-an

an

，證明數列{b_n}的前n項和Sn＜

7

4

（3）已知不等式ln（1+x）＜x對x＞0成立，證明：an＜2e

3

4

（n≥1）（其中無理數e=2.71828…）

Answer 1

分析：（1）利用數學歸納法的證題步驟，關鍵驗證當n=k+1時不等式成立；
（2）對通項進行放縮，利用裂項法求和，即可證得結論；
（3）先證明n≥2時，lnan+1-lnan≤

1

n2+n

+

1

2n+1

，再累加，即可證得結論．

解答：證明：（1）①當n=2 時，a₂=2，不等式成立．
②假設當n=k（k≥2）時不等式成立，即a_k≥2，那么ak+1=(1+

1

k2+k

)ak+

1

2k

＞ak≥2．
即當n=k+1時不等式成立．
根據①②可知：a_n≥2對 n≥2成立．…（4分）
（2）∵

an+1

an

=1+

1

n2+n

+

1

2nan

，∴bn=

an+1-an

an

=

an+1

an

-1=

1

n2+n

+

1

2nan

當n=1時，b1=

a2-a1

a1

=1，
當n≥2時，a_n≥2，bn=

1

n2+n

+

1

2nan

≤

1

n2+n

+

1

2n+1

，
故Sn=b1+b2+…+bn≤1+(

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n+1)

)+(

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)
=1+[

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

]+

1

4

[1-(

1

2

)n-1]＜1+

1

2

+

1

4

=

7

4

…（9分）
（3）當n≥2時，由（1）的結論知：an+1=(1+

1

n2+n

)an+

1

2n

≤(1+

1

n2+n

+

1

2n+1

)an
∵ln（1+x）＜x，
∴lnan+1≤ln(1+

1

n2+n

+

1

2n+1

)+lnan＜lnan+

1

n2+n

+

1

2n+1

，
∴lnan+1-lnan≤

1

n2+n

+

1

2n+1

（n≥2）
求和可得lnan-lna2＜

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n-1)

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

=

1

2

-

1

n

+

1

22

-

1

2n

＜

3

4

而a₂=2，∴ln

an+1

2

＜

3

4

，∴an＜2e

3

4

（n≥2），而a1=1＜2e

3

4

故對任意的正整數n，有an＜2e

3

4

．…（14分）

點評：本題考查數學歸納法，考查不等式的證明，考查放縮法、累加法，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度．