Question

設b＞0，數列{a_n^}滿足a₁=b，a_n=

nban-1

an-1+n-1

（n≥2）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（4）證明：對于一切正整數n，2a_n≤bⁿ⁺¹+1．

Answer 1

分析：（1）由題設形式可以看出，題設中給出了關于數列a_n的面的一個方程，即一個遞推關系，所以應該對此遞推關系進行變形整理以發現其中所蘊含的規律，觀察發現若對方程兩邊取倒數則可以得到一個類似等差數列的形式，對其中參數進行討論，分類求其通項即可．
（2）由于本題中條件較少，解題思路不宜用綜合法直接分析出，故求解本題可以采取分析法的思路，由結論探究其成立的條件，再證明此條件成立，即可達到證明不等式的目的．

解答：解：（1）∵an =

nban-1

an-1+n-1

（n≥2），
∴

n

an

=

1

b

+

1

b

×

n-1

an-1

（n≥2），
當b=1時，

n

an

=1+

n-1

an-1

（n≥2），
∴數列{

n

an

}是以

1

a1

為首項，以1為公差的等差數列，
∴

n

an

=1+（n-1）×1=n，即a_n=1，
當b＞0，且b≠1時，

n

an

+

1

1-b

=

1

b

(

1

1-b

+

n-1

an-1

)（n≥2），
即數列{

n

an

+

1

1-b

}是以

1

a1

+

1

1-b

=

1

b(1-b)

為首項，公比為

1

b

的等比數列，
∴

n

an

+

1

1-b

=

1

b(1-b)

×(

1

b

)n-1=

1

b n(1-b)

，即a_n=

nbn(1-b)

1-bn

，
∴數列{a_n}的通項公式是an=

1       b=1 nbn(1-b) 1-bn   b＞0，且b≠1

（2）證明：當b=1時，不等式顯然成立
當b＞0，且b≠1時，a_n=

nbn(1-b)

1-bn

，要證對于一切正整數n，2a_n≤bⁿ⁺¹+1，只需證2×

nbn(1-b)

1-bn

≤bⁿ⁺¹+1，即證2nbn≤(bn+1+1)×

1-bn

1-b

∵(bn+1+1)×

1-bn

1-b

=(bn+1+1)×

bn-1

b-1

=（bⁿ⁺¹+1）×（b^n-1+b^n-2+…+b+1）
=（b²ⁿ+b^2n-1+…+bⁿ⁺²+bⁿ⁺¹）+（b^n-1+b^n-2+…+b+1）
=bⁿ[（bⁿ+b^n-1+…+b²+b）+（

1

b

+

1

b 2

+…+

1

b n-1

+

1

bn

）]
≥bⁿ（2+2+…+2）=2nbⁿ
所以不等式成立，
綜上所述，對于一切正整數n，有2a_n≤bⁿ⁺¹+1，

點評：本題考點是數列的遞推式，考查根據數列的遞推公式求數列的通項，研究數列的性質的能力，本題中遞推關系的形式適合用取倒數法將所給的遞推關系轉化為有規律的形式，兩邊取倒數，條件許可的情況下，使用此技巧可以使得解題思路呈現出來．數列中有請多成熟的規律，做題時要注意積累這些小技巧，在合適的情況下利用相關的技巧，可以簡化做題．在（2）的證明中，采取了分析法的來探究解題的思路，通過本題希望能進一步熟悉分析法證明問題的技巧．