Question

已知.
（1）求的極值，并證明：若有；
（2）設，且，，證明：，
若，由上述結論猜想一個一般性結論（不需要證明）；
（3）證明：若，則.

Answer 1

(1)詳見解析；(2) 詳見解析；(3) 詳見解析.

試題分析：(1)利用求導探求函數的單調性，進而確定其極值；借助結論時恒成立，證明；（2）借助第一問的結論，通過拼湊技巧進行構造要證明的不等式；（3）借助第二問的猜想結論，進行構造，利用對數運算進行化簡整理即可得到證明的結論.
試題解析：（1）則
當x∈（0，1）時，x∈（1，＋∞）時，
∴在（0，1）遞增，在（1，＋∞）遞減，
                                              2分
∴當時恒成立，即時恒成立。
∴         4分
證明：，
（2）證明：設，且，令，則，且
，，
由（1）可知   ①
              ②
①+②，得

∴      8分
猜想：若，且時有
       9分
（3）證明：令
由猜想結論得

=
∴，
即有。                   14分