Question

已知是的一個極值點.
（Ⅰ） 求的值；  
（Ⅱ） 求函數的單調遞減區間；
（Ⅲ）設，試問過點可作多少條直線與曲線相切？請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）3；（Ⅱ）；（Ⅲ）2條.

試題分析：（Ⅰ）先對原函數求導，則，即得的值；（Ⅱ）求當時的的取值范圍，就得函數的單調減區間；（Ⅲ）易知，設過點（2，5）與曲線相切的切點為，
所以，，令，利用導數求函數的單調區間及極值，可得與軸的交點個數，從而得結論.
試題解析：（I）因為是的一個極值點，所，
經檢驗，適合題意，所以.                                  3分
（II）定義域為，，
所以函數的單調遞減區間為                                              6分
（III），設過點（2，5）與曲線相切的切點為
所以，               9分
令，所在上單調遞減，在上單調遞增，
因為，所以與x軸有兩個交點，
所以過點可作2條直線與曲線相切.                                            12分