Question

已知向量a=(-cosx，2sin

x

2

)，b=(cosx，2cos

x

2

)，f(x)=2-sin2x-

1

4

|a-b|2．
（1）將函數f（x）圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標不變，繼而將所得圖象上的各點向右平移

π

6

個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）的單調遞增區間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f(C)=2f(A)，a=

5

，b=3，求c及cos(2A+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可求f（x）=2-sin²x-

1

4

[4cos2x+4(sin

x

2

-cos

x

2

)2]=sinx，根據函數的圖象變換法則可求g（x）=sin2(x-

π

6

)=sin(2x-

π

3

)，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可求g（x）的單調遞增區間
（2）由已知可得sinC=2sinA，結合正弦定理可得，c=2a=2

5

，由余弦定理可求cosA=

b2+c2-a2

2bc

，進而可求cos2A=2cos²A-1，利用sin2A=

1-cos22A

可求sin2A，然后由兩角和的余弦公式可求

解答：解：（1）∵

a

=(-cosx，2sinx)，

b

=(2cosx，

3

cosx)
∴

a

-

b

=(-3cosx，2sinx-

3

cosx)
∴f（x）=2-sin²x-

1

4

[4cos2x+4(sin

x

2

-cos

x

2

)2]
=2-sin²x-cos²x-1+sinx=sinx（2分）
由題意，g（x）=sin2(x-

π

6

)=sin(2x-

π

3

)（4分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
解得，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
∴g（x）的單調遞增區間[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z
（2）由f（x）=sinx及f（C）=2f（A）可得sinC=2sinA
由正弦定理可得，c=2a=2

5

（7分）
由余弦定理可得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

9+(2 5 )2-( 5 )2

2×3×2 5

=

2 5

5

（8分）
于是cos2A=2cos²A-1=2×

4

5

-1=

3

5

（9分）
由a＜c知A＜C，從而0＜A＜

π

2

，0＜2A＜π，所以sin2A＞0
所以sin2A=

1-cos22A

=

4

5

（10分）
所以cos（2A+

π

4

）=cos2Acos

π

4

-sin2Asin

π

4

=

2

2

×(

3

5

-

4

5

)=-

2

10

（12分）

點評：本題是基礎題，考查向量的數量積，三角函數的單調增區間的求法，二倍角公式及同角平方關系及兩角和的余弦公式的綜合應用，是常考題型