Question

若定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），且當x∈[0，1]時，其圖象是四分之一圓（如圖所示），則函數H（x）=|xe^x|-f（x）在區間[-3，1]上的零點個數為（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

分析：求出函數f（x）=xe^x的導函數，由導函數等于0求出x的值，以求出的x的值為分界點把原函數的定義域分段，以表格的形式列出導函數在各區間段內的符號及原函數的增減性，從而得到函數的單調區間及極值點，把極值點的坐標代入原函數求極值．然后判斷y=|xe^x|的極值與單調性，然后推出零點的個數．

解答：解：定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），
∴函數是偶函數，關于x=1對稱，
∵函數f（x）=xe^x的定義域為R，
f′（x）=（xe^x）′=x′e^x+x（e^x）′=e^x+xe^x
令f′（x）=e^x+xe^x=e^x（1+x）=0，解得：x=-1．
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

由表可知函數f（x）=xe^x的單調遞減區間為（-∞，-1），單調遞增區間為（-1，+∞）．
當x=-1時，函數f（x）=xe^x的極小值為f（-1）=-

1

e

．
y=|xe^x|，在x=-1時取得極大值：

1

e

，x∈（0，+∞）是增函數，
x＜0時有3個交點，x＞0時有1個交點．
共有4個交點．
故選：B．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性與極值，在求出導函數等于0的x值后，借助于表格分析能使解題思路更加清晰，此題是中檔題．